实数的连续性和完备性(实数的连续性定理)

　　什么是实数(怎样看待实数的持续性)

　　很多人都了解，在实数的范围内，每一个实数都能够用数轴上的一个点来表明；反过来，数轴上的每一个点都意味着一个实数。大家说实数一一对应数轴上的点。

　　什么叫一一对应？数轴上面有无数点，能够说成“密”。实数成千上万，数据不清。有理数和无理数组成实数。当起点、单位长度和方位设定在一条平行线处时，该平行线变成数轴。因此 数轴上的每一个点意味着一个实数，每一个实数可以用数轴上的一个点来表明。实数能够持续转变，即点能够在数轴上持续挪动。

　　例如整数金额由小到大的转变是弹跳，从整数金额1到整数金额2，正中间沒有一切整数金额；但有理数由1变2，一颗颗，交叉式许多 分。仿佛沒有“空缺”，正中间仿佛都没有弹跳。实际上有理数从L到2并并不是持续转变的，由于正中间有很多无理数交叉式，例如2的算术平方根。

　　因此 有理数和无理数中间的“空缺一部分”组成了实数，实数能够持续转变。这类持续性能够说成自变量x从1变为2，换句话说x要用1到2中间的全部实数。

　　大家想像用一把剪子把数轴裁开，把数轴裁成几段，那麼剪子一定会在某一点上裁开，也就是裁开某一个实数。假如剪子只剪在一个空缺上，表明实数并不是持续的。

　　这个时候，一些阅读者会有疑问。要是没有差别，应当切在哪儿？假如在某一点切，这一点在数轴的哪一半？假定是以数轴点A切的，那麼这一点没有左半边，在右半部。由于点是离不开的，不容易另外消退，不容易双面都是有，也不会双面也没有。因此 不管数轴分两截，总会有一半有节点，另一半沒有节点。从这一假定中，我们可以了解数轴和实数的持续性。

　　假如全部负有理数放到一起产生A集，全部正有理数产生B集，那麼A集沒有最高值，B集沒有极小值。假如你一直在2组中间切一刀，便会在缝中切。可是在实数系统软件中，这一空缺被无理数弥补了。

　　那样就把有理数分为了A和B两一部分，使B中的每一个数都超过A中的每一个数，这类除法方式称为有理数的德德金除法。有理数的每一个区划都决策了一个实数。有空隙的切分决策一个无理数，无空隙的切分决策一个有理数。这类创建实数系的方式是由法国一位数学家戴德金(1831 ~ 1916)明确提出的。

　　大家把全部的实数分为2个非空集合A和B，假如结合A中的随意一个数A低于结合B中的随意一个数B，或是结合A中有最大的数，或是结合B中有最小的数，那麼二种状况中必定有一种存有，并且仅有一种，这就称为实数的持续性。

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